Math Lover

@alex_arvaloez @hanwenzhang1982 @jesus_osorior Bueno, si consideramos una parametrización de la curva, eso no infringe la definición de función, incluso estando en coordenadas rectangulares.

@hanwenzhang1982 @jesus_osorior Creo que no. Una de las definiciones de función es que para un valor de x, solo puede tener un único valor y. Eso si ponemos el diagrama en un plano cartesiano de coordenadas rectangulares.

El símbolo olímpico se puede dibujar de un solo trazo...

@jherrera119 @cyrnosofia La teoría de conjuntos en sí misma es muy amplia lo que sería difícil especificar cada uno de sus temas de investigación actuales. Solo por mencionar algunos: la teoría del forcing, cardinales característicos del continuo, teoría de ideales, teoría descriptiva de conjuntos etc.

@cyrnosofia Hola, ¿tienes alguna idea de los temas más avanzados que se están trabajando hoy en día acerca de teoría de conjuntos?

Todos los subconjuntos posibles de {a,b,c} Son: ∅, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}. El conjunto de todos estos subconjuntos es ℘({a,b,c}) derivados del axioma de poder. El conjunto formado por todos los subconjuntos de un conjunto A se denomina conjunto potencia de A y se escribe ℘(A). ℘(A) = {B : B ⊆ A}: ℘({a,b,c}) = {∅,{a},{b},{c},{a,b},{b,c},{a,c},{a,b,c}}

@hanwenzhang1982 La hipótesis del continuo de G. Cantor. En otras palabras, esta hipótesis establece que no existe un tamaño intermedio entre la cardinalidad del conjunto de los números reales y del conjunto de los números naturales. Aunque se demostró que está afirmación es independiente de ZFC.

Si entiendes lo que dice allí podemos ser amigos. Si no, también 😊

@EmeXChan @Framplified @KamerynJW I don't know if I'm missing something, but, Are you saying that c<=aleph_2? If that is what you are saying it isn't correct. c can be forced to be arbitrarily large (well I assume that by c you mean the cardinality of Continuum).

@Framplified @KamerynJW Studying this further: aleph-null < c, then we get 2^(aleph-null) < 2^c = beth-two. We also know aleph-two <= beth-two, we get aleph-null < c <= aleph-two. Beth-three is 2^(beth-two) and again we get 2^(aleph-null) <= aleph-three < = beth-three. So we can repeat ad nauseam.

{z∈x:z∈y} que no es más que x∩y i.e. la intersección del conjunto x e y. Ahora, si φ(z,y)=z∈x, entonces el axioma nos da la existencia de {z∈x:z∈x}, que no es más que el conjunto diferencia x\y. 11/11.

Para terminar, daré un par de ejemplos en el cual podemos usar este axioma. Sean x, y dos conjuntos. Consideremos la fórmula φ(z,y)=z∈y donde el conjunto y es tratado como un parámetro. Así, el esquema de separación nos permite concluir la existencia del conjunto 10/n

Notemos que este es un axioma distinto a los demás anteriormente introducidos, puesto que, por cada fórmula φ, conjunto x y conjunto de parámetros p, tenemos una instancia distinta de este axioma. A eso obedece su nombre de "esquema" ya que es una colección infinita de axiomas.

Me sabrán perdonar los que ven mi exposición con exagerada falta de rigurosidad, pues en efecto mi definición carece de ella, pero todo esto es con el fin de motivar intuitivamente al axioma. Ya para detalles más técnicos, sugiero la lectura de su libro de lógica favorito 7/n.

Así, con este algoritmo, podemos identificar cuáles son y cuáles no fórmulas de ZFC. De esta manera, podemos establecer el esquema axiomático de separación como la siguiente afirmación. Sea x un conjunto y p un conjunto de parámetros. Entonces existe un conjunto {z∈x:φ(z,p)}.

Diremos que φ es una fórmula de ZFC si está en una de las siguientes dos categorías: 1. φ es una fórmula atómica i.e. es de la forma x=y o x∈y. 2. Si ϕ y ψ son fórmulas y φ es de la forma ¬ϕ, ϕ∨ψ, ϕ∧ψ, ϕ→ψ, ϕ↔ψ, ∃xϕ o ∀xϕ. 5/n

símbolos lógicos como lo son ∨, ∧, ∀ etc.) En primer lugar, están las que llamaremos fórmulas atómicas, las que son de la forma x=y o x∈y. Con estas fórmulas atómicas, y mediante un proceso recursivo, definimos lo que es una fórmula de ZFC de la siguiente manera: 4/n

en detalles a la hora de abordarlo. En primer lugar, el lenguaje de la teoría de conjuntos solo se compone de un símbolo, a saber, la relación binaria (o diádica) ∈. Con este símbolo se construyen todas las fórmulas de nuestra teoría (con ayuda, claro está, de los demás 3/n

Para responder a la pregunta anterior, debemos ahondar un poco sobre la lógica de primer orden de ZFC. Este de por sí es un tema bastante amplio y con muchísimos matices, y para no hacer este hilo muy largo, me otorgaré la libertad de ser laxo, conciso y poco preciso 2/n

Axiomas ZFC hilo 6: En esta nueva entrada introduciremos el axioma esquemático de separación, el cuál dice qué, dado un conjunto x y una propiedad φ(z), podemos garantizar la existencia del conjunto {z∈x:φ(z)}. Pero ¿a qué nos referimos cuando decimos dad una "propiedad"? 1/n.

@mike_mates Cantor, porque creó el paraíso del cuál nadie nos ha podido expulsar.

¿Cuál es vuestro/a matemático/a favorito y por qué?

@Psicoalfanista @JulioNavarro67 Hola Mónica. Cómo siempre, un muy bonito resultado. No estoy seguro si es algo que asumes de antemano en tus hilos, si es así, discúlpame el despiste. Pero para el teorema de Clairaut se requiere la continuidad de las segundas derivadas parciales de F_a. Saludos!

Bella relación #36. [Corregida] Como Julio @JulioNavarro67 me ha señalado, había un índice en una derivada parcial que no era correcto, y ahora lo corrijo. Perdonen el inconveniente, pero creo que esta ya no tiene errores. Muchísimas gracias, Julio.

@mike_mates Elección, es que las diferentes nociones de conjunto finito pueden diferir. Lo cuál permite hablar de "conjuntos infinitos Dedekin finitos".

@mike_mates Ya han mencionado la consistencia, relativamente a ZF, que los números reales son unión numerable de conjuntos numerables. Cómo consecuencia de esto, se puede construir una partición R de cardinalidad mayor que el continuo. Otra consecuencia interesante de negar el axioma de

¿Qué consecuencias conocéis de aceptar/negar el axioma de elección?

Every sentence that is provable in ZFC is equivalent over ZF to a suitable definable choice principle, asserting that a certain family has a choice function. mathoverflow.net/a/461030/1946