整数問題bot

難易度はbot主が 15分以内にできる→激易 15〜30分でできる→易 30分〜1時間でできる→やや易 1時間以上かかるけどまあ1日でできる→標準 何日もかかってできる→やや難 無理→難 になっています。

[246]nを正の整数とする。このときa²+b²+c²+d²=4ⁿを満たす正の整数の組(a,b,c,d)を求めよ(2011年第二回京大実戦6、3分問題)

[104]自然数nはnの正の約数を小さい順にa₁,a₂,…とするとき次の条件を満たすようなnを全て求めよ ・a_(i＋1)－a_iはnの約数である ・a₁＝1,a₂＝2,a₃＝4,a₄＝5 ・i≧4でa_(i＋1)－a_i≧2 (大学への数学2008年5月号宿題、標準)

[162]a,bはa²＋b²がab＋1を割り切れるような正の整数とする。このとき(a²＋b²)／(ab＋1)は平方数となることを示せ(1988年IMOオーストラリア大会6、標準)

[198] a²+b,b²+aがともに共通の素数の整数乗となるような正の整数の組(a,b)をすべて求めよ(大学への数学2016年1月号宿題、易)

[214](n²+1)/mと√(2^(n-1)+m+4)がともに整数になる正の整数の組(m,n)を全て求めよ(2020年JMO本選1、激易)

[124](a²b＋2)／(ab²＋2)が整数となる正の整数の組(a,b)を全て求めよ(自作問題、激易)

[50]次のような自然数Aが存在することを示せ (a)Aは連続する3つの整数の積である。 (b)Aを10進法で表したとき、1が連続して99回以上現れるところがある (2013年東大5、易)

[152]x²－mnx＋m＋n＝0(ただしm,nは自然数)で2つの解がともに整数となる(m,n)は何個あるか(2007年早大人間科学、激易)

[159]nか5以上の整数のとき(n－2)!がnで割り切れる必要十分条件はnが合成数であることを示せ(有名問題?、3分問題)

[138]kを正の整数、mを奇数とする。このときnⁿ－mが2^kで割り切れるような正の整数nが存在することを示せ(2010年JMO本選2、やや易)

[236]正の整数の組(a,b,c)であってa,b,cの最小公倍数が(ab+bc+ca)/4となるものをすべて求めよ(2020年JJMO本選、易)

[97]数列a₁,a₂,…を a_n＝2ⁿ＋3ⁿ＋6ⁿ－1(n＝1,2,…) で定める。この数列のどの項とも互いに素な自然数をすべて求めよ(2005年IMOメキシコ大会4、易)

[266]a²b²-8ab-a²-b²=8を満たす正の整数の組(a,b)を全て求めよ(2023年度中1東大寺学園2学期末定期考査、激易)

[220]正の整数a,b,cはa²+2ᵇ+3ᶜ=2020を満たす。このときの正の整数の組(a,b,c)を全て求めよ。(自作問題、易)

[285] p＞qを満たす素数の組(p,q)であって (((p+q)^(p+q))((p-q)^(p-q))-1)／(((p+q)^(p-q))((p-q)^(p+q))-1) が整数であるものを全て求めよ(2018年JMO春合宿3、標準)

[153]次の条件(a),(b)をともに満たす正の整数Ｎをすべて求めよ (a)Ｎは連続する4つの整数の積である (b)Ｎの正の約数のうち素数であるものは3個である (2013年第2回東大実戦4、易)

[166]数列{a_n}はa_0,a_1が自然数でa_(n+2)＝|a_(n+1)-a_n|を満たす。このときある自然数mにおいてa_m＝0となることを示せ(2006年早稲田大理工3、易)

[277] x₁,x₂,…,x₁₀₀₀は整数で、672以下の任意の正の整数kに対して,(x₁ᵏ+x₂ᵏ+x₃ᵏ+…+x₁₀₀₀ᵏ)が2017の倍数になるとする。このときx₁,x₂,…,x₁₀₀₀はすべて2017の倍数となることを示せ(2017年JMO本選5、難)

[251]3次方程式x³-ax²+bx-b=0が異なる3つの正の整数解を持つとき、a,bの値を求めよ(2008年第一回京大プレ1、5分問題)

[48]x²＋y²＋z²＝xyzを満たす組(x,y,z)は無限個存在することを示せ。 (2006年東大4、易)