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penta
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penta
@penta_math
数学好きな東大院生。専門は連続最適化。たまにイラストを描きます。過去の自作問題や質問は以下のサイトから↓
日本 Inscrit le Haziran 2021
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入試で使うならこの説明だと怪しいので、↓みたいに多項式の剰余を使って正当化するなどしてください
実際、虚数を考えることは多項式をx²+1で割ったあまりと考えることと同じです
x.com/p3ntry/status/…
p3ntry@p3ntry
解いてみたら山場は別だった P(x)=(x+1)^49をx²+1で割った余りを求めれば良いので余りをax+bと置く P(x)=(x²+1)Q(x)=ax+b ここでx²+1=0の解の1つであるx=iを代入すると P(i)=(i+1)^49=ai+b de-Moivreの定理よりP(i)=2^24+(2^24)i 係数比較によりa=b=2^24 よってx=45を代入すると-4140≡1938
日本語
解答: 1938
mod 2026の世界では45が"虚数単位"になるという問題でした
正確には剰余環の同型を考えていることになります
「2乗して-1になる数は存在しない」という主張をよく見るので作ってみました
penta@penta_math
割と好みな問題ができた
日本語
@penta_math mod N のNを∞にしていくと、45に対応する数は、本当の虚数単位のiに収束していくということでしょうか(表現がアラだらけですみません)
日本語
45^2≡-1 から 45 ≡ i (i:虚数単位)とするのに抵抗がった (x^2≡1 ⇒ x≡1 or x≡-1 であって、平方剰余が等しいからといって剰余を平方根のどちらかに限定するのに抵抗がある) のだが、よく考えれば i と -i は対称的なのだから 45 mod 2026 を i としても -i としても特に問題はないのかと思った。
penta@penta_math
解答: 1938 mod 2026の世界では45が"虚数単位"になるという問題でした 正確には剰余環の同型を考えていることになります 「2乗して-1になる数は存在しない」という主張をよく見るので作ってみました
日本語
@raten_THE_eitai そうですね
もし入試の答案などで使うなら、説明が必要だと思います
例えば、多項式の剰余を使う方法があります
x.com/p3ntry/status/…
p3ntry@p3ntry
解いてみたら山場は別だった P(x)=(x+1)^49をx²+1で割った余りを求めれば良いので余りをax+bと置く P(x)=(x²+1)Q(x)=ax+b ここでx²+1=0の解の1つであるx=iを代入すると P(i)=(i+1)^49=ai+b de-Moivreの定理よりP(i)=2^24+(2^24)i 係数比較によりa=b=2^24 よってx=45を代入すると-4140≡1938
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これ正しいのかどうか俺には判別できないので置いておくんだが、なぜ虚数iと同じように扱えるか説明しなかったら即刻×なんじゃね
penta@penta_math
解答: 1938 mod 2026の世界では45が"虚数単位"になるという問題でした 正確には剰余環の同型を考えていることになります 「2乗して-1になる数は存在しない」という主張をよく見るので作ってみました
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@yusui_math すいさんが好きそうだと思ってましたが、似た問題を既に作ってたんですね
問題文は中学生でも理解できるのに、背景には多項式環がいるのが良いですよね
日本語
@penta_math これ好きです！
私も前に同じような発想で作っていました
2026だと2乗+1だから綺麗ですね！！
x.com/yusui_math/sta…
すい@yusui_math
問題を思いついた 101^12を9901で割った余りは？ （ヒント：9901=100^2-100+1）
日本語
その通りです
ご指摘ありがとうございます
また、解いていただきありがとうございます
今後もミスを発見したら教えてください
marshmallow-qa.com/messages/f83f3…
日本語
@NolmerPortion なるほど、そういう意味では、複素数だと代表元の取り方に標準的なものがあるかは分かりません
"周期"ごとに複素数平面を区切って、その１つを採用するという感じです
上の記事とは異なりますが、絶対値が最小のものをとるというのは１つのやり方だと思います
日本語
@penta_math このとき、mod自体は二つの元a,bをその差が法の整数倍であるときに同一視することですが、関数としてみると特に代表元の選び方が0に一番近い正の数になっているように思います。例えばmod(6,π)=6-π
このとき、実数については正であるかが定まりますが、複素数はそうでないので気になった次第です
日本語
@NolmerPortion ただ、a-nbが整数となるnが存在するとは限らない（例えばb=2+2i）ので、一般には代表元は整数にとるのではなく、bとbiの張る正方形の内部（あるいは周上）にある格子点にとると上手くいきます
また、modは不等号とは無関係に、z-wがbの"倍数"ならz≡w mod b と定義されます
日本語
@NolmerPortion だいたいそんな感じです
記事でやってることは、ガウス整数（x+yi,x,yは整数）に対して、4+iのガウス整数倍を法として同一視していて、
(4+i)(x+yi)=(4+i)x+(-1+4i)y
なので、4+iと-1+4iの張る正方形が"周期"として現れる、という感じです
日本語
解答: (a,b)=(-239,5)
いわゆるマチンの公式です
239という非自明な値が出てきますが、自力でも見つけられると思ったので問題にしてみました
penta@penta_math
円周率の日ですね
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